Coordonnées d'un vecteur normal

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Propriété

Soit \(a\) , \(b\) , \(c\)  trois réels, \(a\)  et \(b\)  non simultanément nuls. On considère la droite  \((d)\) d'équation cartésienne  \(ax + by + c = 0\) . Cette droite admet pour vecteur normal le vecteur  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\) .

Démonstration

Un vecteur directeur de \((d)\) est \(\require{\asm}\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\a\end{pmatrix}\) (voir programme de la classe de seconde). On a \(\vec n\cdot \vec u =a\times (-b)+b\times a =-ab+ba=0\) , \(\vec n\) est bien un vecteur normal de  \((d)\) .

Réciproquement, si  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\)  est un vecteur normal à la droite  \((d)\) , alors il est orthogonal à ses vecteurs directeurs, dont le vecteur   \(\require{\asm}\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\a\end{pmatrix}\) .
Si  \(a=0\) , toute équation cartésienne de \((d)\) est de la forme \(by+c=0\) et le vecteur \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}0 \\b\end{pmatrix}\) est orthogonal à \(\vec u.\)

Soit \(a\ne 0\) .

\(\vec u \cdot \vec n = (-b) \times x + a \times y = -bx + ay\) .

\(\vec n\) orthogonal à \(\vec u\) implique que leur produit scalaire est nul et \(-bx + ay = 0\) , c'est à dire \(y = \dfrac{b}{a}x\) . Les vecteurs normaux de  \((d)\) sont donc de la forme  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}x \\\frac b a x\end{pmatrix}\) , pour tout  \(x\)  réel. En choisissant  \(x = a\) , on a alors  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}\) .

Remarques

• En considérant l'équation réduite d'une droite \((d)\) , non parallèle à l'axe des ordonnées, de la forme  \(y = mx + p\) , avec  \(m\)  et  \(p\)  deux réels, de par la propriété précédente, un vecteur normal à \((d)\) a pour coordonnées  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}-m \\ 1\end{pmatrix}\) .
  
• Si deux droites sont parallèles, tout vecteur normal à l'une des deux est colinéaire à tout vecteur normal de l'autre.
  

Exemples 

1. On considère la droite d'équation cartésienne  \(x + 3y - 2 = 0\) , alors un vecteur normal est  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}\) .
2. On considère la droite d'équation  \(2y + 12 = 1,2x\) équivalente à \(-1,2 x + 2y + 12 = 0\) , alors un vecteur normal est  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}-1,2 \\ 2\end{pmatrix}\) .
3. On considère la droite d'équation  \(x = 8\) , équivalente à \(x - 8 = 0\) , alors un vecteur normal est  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\) .